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(高中)抽象函数 高三一轮复习
发布时间: 2016-03-29    浏览次数:2306     来源:

课    题:抽象函数
学    科:数学
所用教材: 高三     年级  一轮复习   
设 计 者:   王 勇   
单    位:  淮南二中  
 
 
 
 
 
课 题
抽象函数
设计者
王  勇
设计意图
课型:复习课
设计理念本节课采用探究式课堂教学模式,即在教学过程中,在www.0907wnsr.com的启发引导下,以学生独立自主和合作交流为前提,以问题为导向设计教学情境,为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力,培养学生的归纳类比、抽象概括、反思建构的能力;对于具体问题能够灵活应变的能力;通过自主学习和探究活动发展学生的创新意识;养成严谨的思维习惯.
教材分析:本文所述“抽象函数”属于高三一轮复习课.该部分内容是在对函数性质及基本初等函数复习完毕的前提下进行的.函数作为高考重要考点在每年各份试卷中所占比重都较高.这部分内容可以直接考,亦可间接考;可通过小题考;也可通过解答题考.有的学生只要一涉及到函数就犯晕,尤其以抽象函数为甚.抽象问题本来就很难建构数学方法,这里有涉及到学生很难掌握的函数.所以难上加难.本节首先通过具体实例让学生体验部分抽象函数问题的解题思路,进而让学生编拟类似问题相互检验,进一步提炼这类问题的解题思想与方法.
教学重点:掌握以几类常见函数为背景的抽象函数问题的解题思想与方法;
教学难点:体会抽象问题的处理思想及抽象问题具体化思想.
教学目标
(1)知识与技能目标
掌握以几类常见函数为背景的抽象函数问题的解题策略;
(2)过程与方法目标
①通过对例题的分析研究,学会由一般到特殊、由特殊到一般的解题方法;
②经历编拟题目体会抽象问题具体化思想.
(3)情感态度与价值观
通过对例题的探究,培养学生严谨的科学态度与勇于探索的精神;通过编拟题目增强学生学习数学的兴趣.
教法和学法
1. 教法
启发式讲解式结合教学方式:主要是引导学生回忆联想已经学过的知识并应用于本节课中并讲解和强调需要注意的地方.
2. 学法
在教学过程中,要充分调动学生的积极性和主动性,为学生提供自主学习的时间和空间.让他们在新旧知识的联系中形成新的知识体系.
教学准备:幻灯片及ppt课件
教学过程
一、设置情景,引入新课
抽象函数是没有给出具体解析式的函数,以前我们接触过,但不深入,有些同学对这类问题有些害怕,解题时不知如何入手.其实,这类问题的解法还是有一定规律可循的,以下几节课我们对此作些探索.首先,我们来看第一类问题:具有明显初等函数背景的抽象函数问题.请看(大屏幕给出)
例1(1): 已知函数 的定义域为R,且对任意实数 ,都有 ,则 是(      )
A.奇函数      B.偶函数    C.非奇非偶函数   D.奇偶性无法确定
(学生思考片刻,然后请学生回答)
本题选A.首先,令 ,可得 ,再令 ,可得 ,故选A.
通过不断赋值,巧妙的寻找 与 的关系.进一步询问同学还有没有不同解法?其实本题还有如下解法:函数 是类比函数 得到的抽象函数,所以应该有函数 的性质,故选A.
总结方法:该题的第二种解法直接寻找函数 的初等函数背景 ,由具体 的性质直接得到抽象函数 的类似性质.显然,第二种解法较为简单.作为一个客观题,我们可以这样处理.下面我们在利用这种解法来处理下面的例题:(大屏幕给出)
二、乘胜追击、训练思维
例1(2):已知函数 的定义域为R,且对任意实数 ,都有 ,则 是(      )
A. 是奇函数  B. 是偶函数  C. 是奇函数   D. 偶偶函数
例1(3):已知函数 对一切 满足 ,且当 时, ,则当 时,一定有(   )
A.   B.   C.    D.
例1(4):定义在 上的函数 是单调递增的,且对一切 都有 ,则不等式 的解集是(    )
A.   B.   C.    D.
(学生思考,www.0907wnsr.com巡视,然后请学生回答)
这几个问题都比较简单,可以直接寻找它们的初等函数背景:例1(2)的函数是以函数 为实际背景的,故选C.例1(3)是以函数 为实际背景的,又因为当 时, ,故 ,所以选D;例1(4)是以函数 为实际背景的,又因为单调递增,所以 ,代入解不等式可得 ,选D.象类似的客观题我们就可以直接寻找它们的基本初等函数,通过具体函数来解这种抽象函数问题.寻找对应的基本初等函数需要凭借我们已有的经验和准确的洞察力,经过验证,进而确定基本初等函数的类型.
三、转换类型、提炼总结
下面我们再来看到例题:(大屏幕给出)
例2:已知函数 的定义域为R,且对任意实数 ,都有 ,且当 时, , ,
(1)判断 的奇偶性并证明;    (2) 判断 的单调性性并证明,并求 时, 的值域.
 (学生思考,www.0907wnsr.com巡视,然后请学生回答)
估计有的学生可能会如下解该题:函数 是类比函数 得到的抽象函数,又因为 ,所以 ,显然 是奇函数,并且是减函数, 时的值域是 .
但是作为解大题目这样肯定不行.应该这样解:令 ,可得 ,再令 ,可得 ,故是奇函数;第二问先设 ,且 ,则 = ,因为 ,所以 ,既 ,所以 是 上的减函数.因为 ,所以 = , ,故 时的值域是 .
总结:作为第一种解法只能提供验证结论是否正确,但拿不到“台面”上.所以,对于具有明显初等函数背景的抽象函数解答题问题必须要有严谨的过程,而通过解答具体函数问题类比求解相应抽象函数问题,是一种从特殊到一般的方法,特殊的具体函数有某些性质并不能保证一般的抽象函数也具有相应性质,所以还必须有严谨的证明.这类问题一般用赋值法,通过不断赋值逐步寻找解题之路.赋值过程是一个不断尝试探索过程,有时一次尝试不一定能成功,所以要看准切入点,逐步调整,以达到最终目标.下面我们再来看一个例题:(大屏幕给出)
例4:已知函数 的定义域为R,对任意实数 都有 ,且当 时, ,当 时, .
(1)证明: ;      (2)证明: 在R上单调递增;
(3)设A= ,B ,若 = ,试求 的关系.
(www.0907wnsr.com巡视、学生思考后,请学生回答)
有的同学在求证 时可能会这样做:令 ,得到 ,两边同除以 ,即得到 .但这时并不能保证 .所以可以令 得到 ,因为当 时, ,所以 ,得到 .上述两种解法从思路上讲都是很好的,但第一种解法的过程还需要再论述一下 . 补充如下:首先令 可得 ,但若 ,由当 时, ,则 必为0,所以对一起 , 恒大于0.上述论述非常好,思维量较大,中途还用到了反证法的思想,成功证明了一个“副产品”.第二问 先令 ,得 ,由第一问的结论可得 ,然后再设 ,且 ,则 = ,因为 ,所以 ,即得到 ,从而 在R上单调递增.
上述解法思路清晰,过程严谨,表述简洁,体现了数学的严谨性与简洁美.第三问由函数的单调性可得A= ,B ,所以集合A以原点为圆心以1为半径的圆盘,不包括边界,集合B是一条直线,因为若 = ,所以直线 到圆 的距离大于或等于1,即有 ,化简得 .
把上述代数问题转化为几何问题,进而求出 的关系.体现了数形结合的思想.以上我们通过几个例题介绍了具有明显初等函数背景的抽象函数问题的解决思路.
四、自主探究、深化认识
下面请同学们作回命题专家,让他们通过类比熟悉的具体函数来构造一个抽象函数,最好不要与已有的例题结构相同.同组的可以互相讨论.
(给学生思考时间,www.0907wnsr.com选有代表性的通过实物展台让其他同学欣赏)例如:
1、已知函数 是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数 ,都有: 成立.求不等式 的解集.
2、函数 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意 ,有 >0;②对任意 ,有 ;③ .     (1)求 的值;      (2)求证: 在R上是单调减函数;
肯定同学们编的习题,希望他们课下相互交流一下解法.
五、课时小结,上升层次
接着请同学进行课时小结.
一、对于具有明显初等函数背景的抽象函数客观题可以寻找它们的具体函数背景,进而作为具体函数问题解决;
二、对于具有明显初等函数背景的抽象函数解答题要通过合理赋值进而证明或计算.
六、课后巩固,发展能力
下面留两题作业:
1、16.已知函数 的定义域为R,对任意实数 都有 ,且 ,当 时, >0.
(1)求 ;        (2)求和 ;
(3)判断函数 的单调性,并证明.
2、已知 是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的 都满足: .
(1)求 的值;         (2)判断 的奇偶性,并证明你的结论;
(3)若 , ,求数列{ }的前 项和 .
板书设计:                     
                               抽象函数
 
例1分析 :                             例2解:
(1)
(2)
(3)
(4)                             例3解:
 
 
                                        
 
 
教学反思:1、该设计以学生为主体进行教学,由学生寻找解题思路、比较解题方法的区别,进而探索最优解法.真正体会数学课堂是方法的教学.
2、通过课程的不断推进逐步深入,学生可以通过挫折培养自己耐挫品质及坚强性格.
3、通过编拟习题不仅体现了合作精神而且试题目对于学生也不再神秘.提高了文科学生学习数学的兴趣.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
过这个简单例题让学生体会这类问题的解题思路,进而使该方法明确化、具体化.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
通过方法的总结,让学生熟悉应用.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
通过该题的解决让学生体会题型不同,方法是有区别的.着重培养学生分析问题解决问题的能力.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
该题具有一定的难度,综合性较强.通过此题可以进一步让学生熟悉这类问题的解决思路,并可以进行处理综合性问题的尝试.着重培养学生严谨的逻辑思维能力.
 
 
 
 
 
学校评审小组的课堂点评
授课老师准备充分,构思严谨,设计合理。对学生的一轮复习有很好的实际应用。教学环节清晰,目标明确。充分体现了新课程理念。www.0907wnsr.com基本功扎实,语言表述清晰,难点得到很好突破。 
 

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